20. Mai 2010

Eine weitere Identität für Binomialkoeffizienten

Keine besonders umwerfende Erkenntnis, aber diese Identität hat mir letztens weitergeholfen:

Man denke hier an die Anzahl der Möglichkeiten, zugleich a Positionen für nicht-unterscheidbare weiße Kugeln und b Positionen für nicht-unterscheidbare schwarze Kugeln aus n möglichen unterscheidbaren Positionen zu ziehen.

Beweis:

$$ \begin{aligned} {n \choose a} {n-a \choose b} &= \frac{n!}{a!(n-a)!}\frac{(n-a)!}{b!(n-a-b)!} \\ &= \frac{n!}{a!(n-b)!}\frac{(n-b)!}{b!(n-b-a)!} \\ &= {n \choose b} {n-b \choose a} \quad \square \end{aligned} $$